 |
| Download 40+ Pembahasan Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA Terlengkap PDF |
Mengapa Harus Belajar Soal TKA?
Contoh Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut SMA
1. Nilai dari
\[ \frac{(4)^{\tfrac{3}{2}} \cdot (27)^{\tfrac{2}{3}}}{(64)^{\tfrac{5}{6}} \cdot (36)^{\tfrac{1}{2}}} = \ldots \]
A. \(\tfrac{74}{26}\)
B. \(\tfrac{72}{26}\)
C. \(\tfrac{54}{26}\)
D. \(\tfrac{34}{26}\)
E. \(\tfrac{14}{26}\)
Lihat Pembahasan Soal 1
\[ \frac{(4)^{\tfrac{3}{2}} \cdot (27)^{\tfrac{2}{3}}}{(64)^{\tfrac{5}{6}} \cdot (36)^{\tfrac{1}{2}}} = \frac{(2^2)^{\tfrac{3}{2}} \cdot (3^3)^{\tfrac{2}{3}}}{(2^6)^{\tfrac{5}{6}} \cdot (6^2)^{\tfrac{1}{2}}} \] \[ = \frac{2^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 6} = \frac{8 \cdot 9}{32 \cdot 6} = \frac{72}{26} = \frac{36}{13} \] Jawaban: B
2. Bentuk sederhana dari
\[ \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}+7} = \ldots \]
A. \(\tfrac{3}{2}\sqrt{15} + \tfrac{3}{2}\sqrt{21}\)
B. \(\tfrac{3}{2}\sqrt{21} - \tfrac{3}{2}\sqrt{15}\)
C. \(\tfrac{3}{2}\sqrt{15} - \tfrac{3}{2}\sqrt{21}\)
D. \(\tfrac{3}{2}\sqrt{21} - \tfrac{3}{2}\sqrt{21}\)
E. \(\tfrac{3}{2}\sqrt{10} - \tfrac{3}{2}\sqrt{15}\)
Lihat Pembahasan Soal 2
\[ \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}+7} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+7)} \cdot \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}-\sqrt{7})} \] \[ = \frac{3\sqrt{15} - 3\sqrt{21}}{5-7} = \frac{3\sqrt{15} - 3\sqrt{21}}{-2} = \frac{3}{2}\sqrt{21} - \frac{3}{2}\sqrt{15} \] Jawaban: B
3. Nilai dari
\[ \left( \frac{ \,^{3}\log 5^{0.25} \cdot \log 81 + \,^{3}\log 9 }{ \tfrac{1}{2}\log 36 - \,^{2}\log 9 } \right)^2 = \ldots \]
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Lihat Pembahasan Soal 3
\[ \left( \frac{\log_5 5^{0.25} \cdot \log_{81} 3 \cdot \log 9}{\tfrac{1}{2}\log_{36} 2 \cdot \log 9} \right)^2 \] \[ = \left( \frac{\tfrac{3}{2}\log 5^{5^2} \cdot \log 3^4 \cdot \tfrac{1}{3}\log 3^2}{\tfrac{1}{2}\log 36 \cdot \tfrac{1}{2}\log 2} \right)^2 \] \[ = \frac{(2^3 \log 3 + 2^3 \log 3)^2}{2 \cdot \log 2} = \frac{(2+2)^2}{2} = 4 \] Jawaban: D
4. Sebuah perusahaan ingin merancang wadah silinder tertutup untuk produk cair mereka dengan volume tetap 1 liter (1000 cm³). Buatlah model matematika menggunakan kalkulus untuk menentukan dimensi jari-jari (r) dan tinggi (h) silinder agar bahan yang digunakan untuk membuat wadah (luas permukaan total) seminimal mungkin.
A. \( r = 10 \, \text{cm}, \, h = \tfrac{10}{\pi} \, \text{cm} \)
B. \( r = \sqrt{\tfrac{500}{\pi}} \, \text{cm}, \, h = 2 \times \sqrt{\tfrac{500}{\pi}} \, \text{cm} \)
C. \( r = 5 \, \text{cm}, \, h = \tfrac{40}{\pi} \, \text{cm} \)
D. \( r = \sqrt[3]{\tfrac{1000}{\pi}} \, \text{cm}, \, h = \sqrt[3]{\tfrac{1000}{\pi}} \, \text{cm} \)
E. \( r = 2 \times \sqrt[3]{\tfrac{500}{\pi}} \, \text{cm}, \, h = \sqrt[3]{\tfrac{500}{\pi}} \, \text{cm} \)
LIhat Pembahasan Soal 4
Soal ini menguji kemampuan kreasi peserta didik dalam membuat model matematika dan menerapkan kalkulus untuk masalah optimasi dalam konteks desain produk.
• Formulasi fungsi luas permukaan (yang akan diminimalkan):
Luas permukaan silinder tertutup \(A\) terdiri dari luas alas dan tutup (2 lingkaran) dan luas sisi tegak (persegi panjang):
\[ A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \]
• Batasan volume tetap:
Volume silinder \(V = \pi r^2 h = 1000\ \text{cm}^3\) (konstan).
Dari batasan volume, kita dapat menyatakan \(h\) dalam \(r\):
\[ h = \frac{1000}{\pi r^2} \]
• Substitusi ke fungsi luas permukaan:
Substitusikan ekspresi untuk \(h\) ke dalam persamaan luas permukaan \(A\) untuk mendapatkan \(A\) sebagai fungsi dari \(r\) saja:
\[ A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{1000}{\pi r^2} \right) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} \]
• Cari turunan pertama dan titik kritis:
\[ \frac{dA}{dr} = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} \] Untuk mencari titik kritis, set \( \frac{dA}{dr} = 0 \):
\[ 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \] \[ 4\pi r^3 = 2000 \] \[ r^3 = \frac{2000}{4\pi} = \frac{500}{\pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \]
- Uji turunan kedua untuk memastikan minimum:
\[ \frac{d^2A}{dr^2} = 4\pi + \frac{4000}{r^3} \] Untuk \(r > 0\), \(\frac{d^2A}{dr^2}\) selalu positif (\(4\pi > 0\) dan \(\frac{4000}{r^3} > 0\)), sehingga \(r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\) memberikan nilai minimum untuk luas permukaan.
- Hitung tinggi (\(h\)):
\[ h = \frac{1000}{\pi r^2} = \frac{1000}{\pi \times \left( \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \right)^2} \] \[ h = \frac{1000}{\pi \times \left( \frac{500}{\pi} \right)^{\frac{2}{3}}} \] \[ h = \frac{1000}{\pi^{\frac{1}{3}} \times 500^{\frac{2}{3}}} = \frac{2 \times 500}{\pi^{\frac{1}{3}} \times 500^{\frac{2}{3}}} \] \[ h = \frac{2 \times 500}{\left( \pi \times 500^2 \right)^{\frac{1}{3}}} \] \[ h = \frac{(2 \times 500)^{\frac{1}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}} \] \[ h = 2 \times \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \]
Jadi, dimensi yang meminimalkan luas permukaan adalah: \[ r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \text{ cm}, \quad h = 2 \times \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \text{ cm} \]
Jawaban: B
5. Akar-akar persamaan \[x^2 - (a+2)x - 8 = 0\] adalah α dan β. Jika αβ² + α²β = 16, nilai a yang memenuhi adalah ....
A. 1
B. 2
C. -2
D. -4
E. -6
Lihat Pembahasan Soal 5
Diketahui: \(x^2 - (a + 2)x - 8 = 0\) akar-akarnya \(\alpha\) dan \(\beta\)
\[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = a + 1 \] \[ \alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = -8 \]
Jika diketahui persamaan \(\alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta = 16\):
\[ \alpha \cdot \beta(\beta + \alpha) = 16 \] \[ -8(a + 2) = 16 \] \[ a + 2 = -2 \] \[ a = -4 \]
Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi adalah \(-4\).
Jawaban: D
6. Diketahui \( f(x) = (a+1)x^2 - 2ax + (a-2) \) definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah ....
A. \(-2 < a < -1\)
B. \(a < -2\)
C. \(-1 < a < 0\)
D. \(a > 2\)
E. \(a < -1\)
Lihat Pembahasan Soal 6
Diketahui: f(x) = (a + 1)x² – 2ax + (a – 2)
definit negatif ⇒ a + 1 < 0; D < 0
a + 1 < 0
a < –1
Jika D = b² – 4ac maka
D < 0
⇔ (–2a)² – 4(a+1)(a–2) < 0
⇔ (–2a)² – 4(a² – a – 2) < 0
⇔ 4a² – 4a² + 4a + 8 < 0
⇔ 4a + 8 < 0
⇔ 4a < –8
⇔ a < –2
Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a < –2
Jawaban: C
